الدرس الثالث: الجبر المتقدم (المصفوفات، مبدأ العد، والمتتاليات)

​الدرس الثالث: الجبر المتقدم (المصفوفات، مبدأ العد، والمتتاليات)
​هذا الدرس ينقلنا إلى مستوى أعلى من الجبر، حيث نتعامل مع تنظيم البيانات في مصفوفات، وطرق حساب الاحتمالات والخيارات بدون عدها يدوياً، بالإضافة إلى دراسة الأنماط العددية (المتتاليات).
​المحور الأول: المصفوفات والمحددات (تنظيم البيانات)
المصفوفة هي مجرد طريقة لترتيب الأرقام في صفوف أفقية وأعمدة رأسية داخل أقواس، وتستخدم بكثرة في البرمجة وحل المعادلات المعقدة.
​نظم المصفوفة (أبعادها):
يُكتب نظم المصفوفة دائماً على صورة (عدد الصفوف × عدد الأعمدة).
​مثال: مصفوفة تتكون من 3 صفوف وعمودين، يكون نظمها (3 × 2).
​ملاحظة: المصفوفة المربعة هي التي يتساوى فيها عدد الصفوف مع عدد الأعمدة (مثل 2×2 أو 3×3).
​جمع وطرح المصفوفات:
​الشرط الوحيد: يجب أن تكون المصفوفتان على نفس النظم (نفس الأبعاد تماماً).
​الطريقة: نجمع أو نطرح كل عنصر مع العنصر المناظر له في نفس المكان بالمصفوفة الأخرى.
​ضرب المصفوفات (العملية الأهم):
​شرط الضرب: يجب أن يكون عدد "أعمدة" المصفوفة الأولى مساوياً لعدد "صفوف" المصفوفة الثانية.
​الطريقة: نضرب كل (صف) من المصفوفة الأولى في كل (عمود) من المصفوفة الثانية، ونجمع نواتج الضرب لتكوين عنصر واحد في المصفوفة الجديدة.
​المحددات (قيمة المصفوفة):
المصفوفة نفسها ليس لها قيمة عددية (هي مجرد شكل تنظيمي)، لكن "المحدد" هو قيمة رقمية تُحسب للمصفوفات المربعة فقط. يرمز للمحدد بخطين رأسيين | |.
​حساب محدد من الرتبة الثانية (2×2):
القاعدة: حاصل ضرب عنصري القطر الرئيسي (ناقص) حاصل ضرب عنصري القطر الفرعي.
مثال: محدد صفه الأول (5 ، 2) وصفه الثاني (3 ، 4).
القطر الرئيسي (5 × 4) = 20. والقطر الفرعي (2 × 3) = 6.
قيمة المحدد = 20 - 6 = 14.
​المعكوس الضربي للمصفوفة:
لإيجاد المعكوس الضربي لمصفوفة (2×2):
​أولاً: نحسب قيمة محدد المصفوفة (ويجب ألا يساوي صفراً، وإلا فلا يوجد لها معكوس).
​ثانياً: نقسم العدد 1 على قيمة المحدد.
​ثالثاً: نعدل المصفوفة الأصلية بتبديل أماكن عنصري القطر الرئيسي، وتغيير إشارات عنصري القطر الفرعي.
​رابعاً: نضرب الرقم الناتج من الخطوة الثانية في المصفوفة المعدلة.
​المحور الثاني: مبدأ العد، التباديل، والتوافيق (فن الاختيار)
هذا الجزء يعلمنا كيف نحسب عدد الطرق الممكنة لفعل شيء معين دون الحاجة لعدها واحدة تلو الأخرى.
​مبدأ العد الأساسي (قاعدة "و" وقاعدة "أو"):
​قاعدة الضرب (الرابط "و"): إذا كان إجراء عمل يتطلب خطوتين (الخطوة الأولى تتم بـ 3 طرق، "و" الخطوة الثانية تتم بـ 4 طرق)، فإن إجمالي الطرق = 3 × 4 = 12 طريقة.
​قاعدة الجمع (الرابط "أو"): إذا كان يمكن أداء العمل إما بالطريقة الأولى (3 خيارات) "أو" الطريقة الثانية (4 خيارات)، فإن إجمالي الطرق = 3 + 4 = 7 طرق.
​المضروب (!ن):
هو حاصل ضرب العدد الصحيح الموجب في جميع الأعداد الصحيحة الأقل منه حتى نصل للواحد.
​مثال: مضروب 4 (ويكتب !4) = 4 × 3 × 2 × 1 = 24.
​قاعدة هامة: مضروب الصفر (!0) يساوي 1 دائماً.
​التباديل (ن ل ر):
نستخدم التباديل عندما نختار مجموعة صغيرة (ر) من مجموعة كبيرة (ن)، بحيث يكون "الترتيب مهماً جداً" (مثل اختيار رئيس ونائب، أو تكوين رقم سري).
​القاعدة: ن ل ر = مضروب (ن) مقسوماً على مضروب (ن - ر).
​طريقة سريعة: 5 ل 3 تعني (ابدأ من 5، واضرب 3 أرقام متتالية تنازلياً) = 5 × 4 × 3 = 60.
​التوافيق (ن ق ر):
نستخدم التوافيق عندما نختار مجموعة من مجموعة، بحيث يكون "الترتيب غير مهم" (مثل اختيار فريق من 3 لاعبين من أصل 10 لاعبين).
​القاعدة: التوافيق تساوي قيمة التباديل مقسومة على مضروب (ر).
​التوافيق دائماً تعطي ناتجاً أقل من التباديل لنفس الأرقام لأنها تلغي التكرارات الناتجة عن الترتيب.
​المحور الثالث: المتتابعات (الأنماط العددية)
المتتابعة هي سلسلة من الأرقام تتبع قاعدة معينة. الأهم هو التفريق بين النوعين الأساسيين:
​المتتابعة الحسابية:
تزيد أو تنقص بمقدار ثابت في كل مرة (عن طريق الجمع أو الطرح).
​مثال: 2، 5، 8، 11... (هنا نزيد 3 كل مرة).
​الحد الأول يرمز له بالرمز (أ).
​مقدار الزيادة أو النقصان الثابت يسمى أساس المتتابعة ويرمز له بالرمز (د).
​قانون الحد النوني (لإيجاد أي رقم في المتتابعة): الحد النوني = أ + (ن - 1) × د
حيث (ن) هو ترتيب الحد المطلوب.
​المتتابعة الهندسية:
تزيد أو تنقص بمقدار مضاعف في كل مرة (عن طريق الضرب أو القسمة).
​مثال: 3، 6، 12، 24... (هنا نضرب في 2 كل مرة).
​الحد الأول هو (أ).
​الرقم الذي نضرب فيه يسمى أساس المتتابعة الهندسية ويرمز له بالرمز (ر).
​قانون الحد النوني: الحد النوني = أ × (ر) مرفوعة للأس (ن - 1).