الدرس الرابع: الهندسة المستوية والمجسمات (نظريات، مساحات، وحجوم)

​الدرس الرابع: الهندسة المستوية والمجسمات (نظريات، مساحات، وحجوم)
​الهندسة في اختبارات التنظيم والإدارة لا تعتمد غالباً على رسم أشكال معقدة ومطالبتك بالبرهان الطويل (بما يرضي الله)، بل تعتمد على استنتاج سريع للزوايا والأطوال بناءً على فهمك العميق للنظريات. في هذا الدرس، سنلخص أهم قواعد الهندسة من المرحلة الإعدادية وحتى الثانوية.
​المحور الأول: المثلثات (أساس الهندسة)
المثلث هو أبسط مضلع مغلق، وفهم خصائصه يحل لك معظم مشاكل الأشكال الأخرى لأن أي مضلع يمكن تقسيمه إلى مثلثات.
​قواعد أساسية سريعة:
​مجموع الزوايا الداخلية لأي مثلث يساوي 180 درجة.
​الزاوية الخارجة عن المثلث: تساوي مجموع الزاويتين الداخلتين عدا المجاورة لها.
​متباينة المثلث: مجموع طولي أي ضلعين في مثلث يجب أن يكون دائماً (أكبر من) طول الضلع الثالث.
​التطابق والتشابه:
​التطابق (نسخة طبق الأصل): يتطابق المثلثان إذا تساوت الأضلاع والزوايا. وحالاته الشهيرة هي (ضلعان وزاوية محصورة)، أو (زاويتان وضلع)، أو (ثلاثة أضلاع)، أو (وتر وضلع في المثلث القائم).
​التشابه (نسخة مكبرة أو مصغرة): يتشابه المثلثان إذا تساوت الزوايا فقط، أو تناسبت الأضلاع.
​قاعدة هامة جداً في التشابه: النسبة بين مساحتي مثلثين متشابهين تساوي (مربع) النسبة بين طولي أي ضلعين متناظرين فيهما. (بينما النسبة بين المحيطين تساوي نفس النسبة بين الضلعين بدون تربيع).
​نظرية فيثاغورس (للمثلث القائم الزاوية):
تبحث عن الأطوال. مساحة المربع المنشأ على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين المنشأين على ضلعي القائمة.
​الوتر تربيع = الضلع الأول تربيع + الضلع الثاني تربيع.
​أرقام فيثاغورس السحرية (يجب حفظها لتوفير الوقت دون حساب): (3، 4، 5) ومضاعفاتها مثل (6، 8، 10). وأيضاً (5، 12، 13). إذا رأيت ضلعين من هذه المجموعات، استنتج الثالث فوراً.
​نظرية إقليدس (مثلث قائم داخله عمود):
عندما ننزل بعمود من رأس القائمة على الوتر، ينقسم المثلث إلى مثلثين متشابهين وكلاهما يشابه المثلث الأصلي.
​طول العمود تربيع = حاصل ضرب جزئي الوتر.
​طول أحد ضلعي القائمة تربيع = مسقط هذا الضلع على الوتر × طول الوتر كاملاً.
​مساحة المثلث هنا يمكن حسابها بطريقتين (نصف القاعدة في الارتفاع)، ومنها نستنتج أن: طول العمود = (حاصل ضرب ضلعي القائمة) مقسوماً على (الوتر).
​المحور الثاني: الدائرة (نظريات الزوايا والأوتار)
الدائرة عالم مليء بالنظريات التي تأتي في صورة ألغاز بصرية سريعة في الامتحان.
​المفاهيم الأساسية:
​نصف القطر (نق): قطعة مستقيمة من المركز لأي نقطة على الدائرة.
​الوتر: قطعة مستقيمة تصل بين أي نقطتين على الدائرة (لا تمر بالمركز).
​القطر: هو أطول وتر في الدائرة ويمر بالمركز (يساوي 2 نق).
​المماس: خط يمس الدائرة في نقطة واحدة من الخارج. (نصف القطر يكون دائماً "عمودياً" على المماس عند نقطة التماس).
​عائلة الزوايا في الدائرة:
​الزاوية المركزية: رأسها في المركز، وقياسها يساوي قياس القوس المقابل لها.
​الزاوية المحيطية: رأسها على الدائرة، وقياسها يساوي (نصف) قياس الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس.
​الزاوية المحيطية المرسومة في نصف دائرة (أمامها القطر) تكون دائماً زاوية قائمة (90 درجة).
​الزاوية المماسية: محصورة بين مماس ووتر، وقياسها يساوي الزاوية المحيطية المشتركة معها في نفس القوس.
​الشكل الرباعي الدائري:
هو أي شكل رباعي يمكن رسم دائرة تمر برؤوسه الأربعة.
​خواصه: كل زاويتين متقابلتين فيه متكاملتان (مجموعهما 180 درجة).
​الزاوية الخارجة عند أي رأس تساوي قياس الزاوية الداخلة المقابلة للمجاورة لها.
​المحور الثالث: قوانين المساحات والمحيطات (الأشكال ثنائية الأبعاد)
المحيط هو الإطار الخارجي (يقاس بالوحدة الطولية). المساحة هي الحيز الداخلي (تقاس بالوحدة المربعة).
​المربع:
​المحيط = طول الضلع × 4
​المساحة = طول الضلع × نفسه. أو (نصف × مربع طول قطره).
​المستطيل:
​المحيط = (الطول + العرض) × 2
​المساحة = الطول × العرض.
​متوازي الأضلاع:
​المحيط = مجموع أطوال أضلاعه.
​المساحة = طول القاعدة × الارتفاع المناظر لها.
​المعين:
​المحيط = طول الضلع × 4
​المساحة = طول القاعدة × الارتفاع. أو (نصف × حاصل ضرب قطريه).
​شبه المنحرف:
​المساحة = نصف مجموع القاعدتين المتوازيتين × الارتفاع. (أو طول القاعدة المتوسطة × الارتفاع).
​المثلث:
​المحيط = مجموع أطوال أضلاعه.
​المساحة = نصف طول القاعدة × الارتفاع.
​الدائرة:
​المحيط = 2 × ط × نق (حيث ط هي النسبة التقريبية 22/7 أو 3.14).
​المساحة = ط × نق^2
​المحور الرابع: الحجوم والمساحات السطحية (المجسمات ثلاثية الأبعاد)
الحجم هو مقدار الفراغ الذي يشغله المجسم (يقاس بالوحدة المكعبة). المساحة الجانبية هي مساحة الجدران فقط، والمساحة الكلية هي الجدران زائد السقف والأرضية.
​المكعب (جميع أوجهه مربعات متطابقة):
​الحجم = طول الحرف × نفسه × نفسه (ل^3).
​المساحة الجانبية = مساحة وجه واحد × 4 (أي 4 × ل^2).
​المساحة الكلية = مساحة وجه واحد × 6 (أي 6 × ل^2).
​متوازي المستطيلات (صندوق):
​الحجم = الطول × العرض × الارتفاع (مساحة القاعدة × الارتفاع).
​المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع.
​المساحة الكلية = المساحة الجانبية + مساحتي القاعدتين.
​الأسطوانة الدائرية القائمة:
​الحجم = مساحة القاعدة × الارتفاع = (ط × نق^2) × الارتفاع.
​المساحة الجانبية = محيط القاعدة × الارتفاع = (2 × ط × نق) × الارتفاع.
​المساحة الكلية = المساحة الجانبية + (2 × مساحة القاعدة).
​المخروط الدائري القائم:
​الحجم = ثلث مساحة القاعدة × الارتفاع = (1/3) × (ط × نق^2) × الارتفاع.
​الكرة:
​الحجم = (4/3) × ط × نق^3
​المساحة السطحية = 4 × ط × نق^2