الدرس الخامس: الهندسة التحليلية (النقاط، المستقيمات، والدائرة)

​الدرس الخامس: الهندسة التحليلية (النقاط، المستقيمات، والدائرة)
​الهندسة التحليلية تعتمد بالأساس على "المستوى الإحداثي"، وهو شبكة تتكون من محورين متقاطعين: المحور الأفقي (محور السينات أو x)، والمحور الرأسي (محور الصادات أو y). أي نقطة على هذه الشبكة يتم تحديدها بزوج مرتب (س، ص) أو (x, y).
​المحور الأول: التعامل مع النقاط (المسافة والمنتصف)
​المسافة بين نقطتين:
إذا كان لدينا نقطتان، كيف نحسب المسافة (أو طول القطعة المستقيمة) بينهما؟ هذا القانون مستنتج مباشرة من نظرية فيثاغورس.
​القانون: المسافة = الجذر التربيعي لـ [ (مربع فرق السينات) + (مربع فرق الصادات) ].
​بالرموز: الجذر التربيعي لـ [ (س2 - س1)^2 + (ص2 - ص1)^2 ].
​مثال: المسافة بين النقطة (0 ، 0) والنقطة (3 ، 4).
فرق السينات (3 - 0) = 3، مربعه = 9.
فرق الصادات (4 - 0) = 4، مربعه = 16.
المجموع = 9 + 16 = 25.
الجذر التربيعي لـ 25 = 5 وحدات طول.
​إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة:
إذا أردنا إيجاد النقطة التي تقع بالضبط في منتصف المسافة بين نقطتين، فنحن ببساطة نحسب "المتوسط" للسينات و"المتوسط" للصادات.
​القانون: نقطة المنتصف = ( مجموع السينات / 2 ، مجموع الصادات / 2 ).
​بالرموز: ( (س1 + س2) / 2 ، (ص1 + ص2) / 2 ).
​مثال: منتصف المسافة بين (2 ، 4) و (6 ، 8).
السينات: (2 + 6) / 2 = 8 / 2 = 4.
الصادات: (4 + 8) / 2 = 12 / 2 = 6.
إذن نقطة المنتصف هي (4 ، 6).
​المحور الثاني: ميل الخط المستقيم (الانحدار)
الميل هو المفهوم الأهم في الهندسة التحليلية. وهو يقيس مدى انحدار الخط المستقيم بالنسبة للمحور الأفقي. يرمز للميل بالرمز (م) أو (m).
​هناك 3 طرق لحساب الميل بناءً على المعطيات:
​الطريقة الأولى: بمعلومية نقطتين يمر بهما المستقيم.
​القانون: الميل = فرق الصادات / فرق السينات.
​بالرموز: (ص2 - ص1) / (س2 - س1).
​مثال: الميل بين النقطتين (1 ، 2) و (3 ، 6) = (6 - 2) / (3 - 1) = 4 / 2 = 2.
​الطريقة الثانية: بمعلومية الزاوية التي يصنعها المستقيم.
​القانون: الميل = ظل الزاوية الموجبة التي يصنعها المستقيم مع الاتجاه الموجب لمحور السينات.
​بالرموز: م = ظا (هـ) أو tan(Angle).
​مثال: مستقيم يصنع زاوية 45 درجة، ميله = ظا(45) = 1.
​الطريقة الثالثة: بمعلومية معادلة الخط المستقيم.
إذا كانت المعادلة على الصورة (أ س + ب ص + جـ = 0).
​القانون: الميل = سالب معامل س / معامل ص.
​مثال: المستقيم 2س - 3ص + 5 = 0. الميل = -2 / -3 = 2/3.
​حالات خاصة للميل يجب حفظها:
​ميل أي خط أفقي (يوازي محور السينات) = صفر.
​ميل أي خط رأسي (يوازي محور الصادات) = غير معرف (لأننا نقسم على صفر).
​العلاقة بين مستقيمين:
​المستقيمان المتوازيان: ميلاهما متساويان تماماً. (م1 = م2).
​المستقيمان المتعامدان (يصنعان زاوية 90): حاصل ضرب ميليهما يساوي (-1).
​قاعدة سريعة للتعامد: إذا كان ميل الأول (أ / ب)، فإن ميل العمودي عليه هو (سالب ب / أ). أي "نقلب الكسر ونعكس الإشارة".
​المحور الثالث: معادلة الخط المستقيم
الهدف هنا هو تكوين الجملة الرياضية التي تصف الخط. لكتابة أي معادلة، نحتاج شيئين أساسيين: (ميل المستقيم) و (نقطة يمر بها) أو (الجزء المقطوع من محور الصادات).
​الصورة العامة للمعادلة:
ص = م س + جـ (أو y = mx + c).
​حيث (م) هو الميل.
​وحيث (جـ) أو (c) هو طول الجزء المقطوع من محور الصادات.
​مثال: مستقيم ميله 3 ويقطع من الجزء الموجب لمحور الصادات 5 وحدات. معادلته: ص = 3س + 5.
​إيجاد المعادلة بمعلومية ميل (م) ونقطة (س1 ، ص1):
نستخدم الصيغة: ص - ص1 = م (س - س1).
​مثال: مستقيم ميله 2 ويمر بالنقطة (3 ، 4).
ص - 4 = 2 (س - 3)
ص - 4 = 2س - 6 (بنقل الـ 4 للطرف الآخر)
تصبح المعادلة: ص = 2س - 2.
​المحور الرابع: معادلة الدائرة
الدائرة في الهندسة التحليلية توصف بمعادلة تعتمد على "نقطة المركز" و "نصف القطر".
​الصورة القياسية (الأساسية) لمعادلة الدائرة:
إذا كان مركز الدائرة هو النقطة (د ، هـ) ونصف قطرها (نق).
​المعادلة: (س - د)^2 + (ص - هـ)^2 = نق^2.
​مثال: دائرة مركزها (2 ، -3) ونصف قطرها 5.
المعادلة: (س - 2)^2 + (ص + 3)^2 = 25.
(لاحظ أننا عكسنا إشارة نقطة المركز داخل الأقواس، وربعنا نصف القطر في الناتج).
​حالة خاصة: إذا كان المركز هو "نقطة الأصل" (0 ، 0).
​تصبح المعادلة ببساطة: س^2 + ص^2 = نق^2.
​الصورة العامة لمعادلة الدائرة:
تأتي مفكوكة على الشكل: س^2 + ص^2 + أ س + ب ص + جـ = 0.
في هذه الحالة، كيف نستخرج المركز ونصف القطر للامتحان؟
​لإيجاد المركز: (سالب نصف معامل س ، سالب نصف معامل ص).
​لإيجاد نصف القطر (نق): الجذر التربيعي لـ [ (مربع الإحداثي السيني للمركز) + (مربع الإحداثي الصادي للمركز) - الحد المطلق جـ ].
​ملاحظة هامة: لكي تكون المعادلة تمثل دائرة، يجب أن يكون معامل س^2 يساوي معامل ص^2 (وعادة ما نقسم المعادلة لنجعلهما يساويان 1)، ولا يجب أن تحتوي المعادلة على الحد (س ص).