الدرس السادس: حساب المثلثات (الدوال، المتطابقات، وقوانين حل المثلث)

​الدرس السادس: حساب المثلثات (الدوال، المتطابقات، وقوانين حل المثلث)
​حساب المثلثات هو العلم الذي يدرس العلاقة بين أضلاع المثلث وزواياه. في الاختبارات، يركز هذا الجزء على الدوال الأساسية، الزوايا الخاصة، وقوانين الجيب وجيب التمام.
​المحور الأول: الدوال المثلثية الأساسية ومقلوباتها
​في أي مثلث قائم الزاوية، لدينا زاوية حادة (هـ)، ونعرف الدوال بناءً على موقع الأضلاع بالنسبة لها:
​1. الدوال الأساسية:
​الجيب (جا أو sin): المقابل / الوتر.
​جيب التمام (جتا أو cos): المجاور / الوتر.
​الظل (ظا أو tan): المقابل / المجاور (أو جا / جتا).
​2. مقلوبات الدوال (يجب حفظها جيداً):
​قاطع التمام (قتا أو csc): هو مقلوب الجا (1 / جا).
​القاطع (قا أو sec): هو مقلوب الجتا (1 / جتا).
​ظل التمام (ظتا أو cot): هو مقلوب الظا (1 / ظا) أو (جتا / جا).
ملحوظة للسرعة: الدالة التي بها "ت" مقلوبها ليس به "ت"، والعكس صحيح (جا مقلوبها قتا، جتا مقلوبها قا).
​المحور الثاني: دائرة الوحدة وإشارات الدوال
​دائرة الوحدة هي دائرة مركزها نقطة الأصل ونصف قطرها يساوي 1. أي نقطة على محيطها تمثل بـ (جتا هـ ، جا هـ).
​إشارات الدوال في الأرباع الأربعة (قاعدة "كل جبار ظالم جته"):
​الربع الأول (من 0 إلى 90): الكل موجب.
​الربع الثاني (من 90 إلى 180): الجا (ومقلوبها القتا) فقط موجبة.
​الربع الثالث (من 180 إلى 270): الظا (ومقلوبها الظتا) فقط موجبة.
​الربع الرابع (من 270 إلى 360): الجتا (ومقلوبها القا) فقط موجبة.
​المحور الثالث: الزوايا الخاصة (قيم يجب حفظها)
​في الامتحان لا توجد آلة حاسبة، لذا يجب أن تكون هذه القيم حاضرة في ذهنك:
​زاوية 30: جا(30) = 0.5 ، جتا(30) = جذر(3)/2.
​زاوية 60: جا(60) = جذر(3)/2 ، جتا(60) = 0.5.
​زاوية 45: جا(45) = 1/جذر(2) ، جتا(45) = 1/جذر(2) ، ظا(45) = 1.
​الزوايا الرباعية: جا(0) = 0، جا(90) = 1، جا(180) = 0، جا(270) = -1.
​المحور الرابع: المتطابقات المثلثية الأساسية
​المتطابقات هي معادلات صحيحة لأي قيمة للزاوية، وتستخدم لتبسيط المسائل:
​المتطابقة الأم: (جا تربيع هـ) + (جتا تربيع هـ) = 1.
​ومنها نستنتج: 1 + (ظا تربيع هـ) = قا تربيع هـ.
​وأيضاً: 1 + (ظتا تربيع هـ) = قتا تربيع هـ.
​قوانين ضعف الزاوية (تتكرر كثيراً):
​جا (2 هـ) = 2 جا هـ جتا هـ.
​جتا (2 هـ) = (جتا تربيع هـ) - (جا تربيع هـ).
​المحور الخامس: قوانين حل المثلث (لأي مثلث)
​هذه القوانين تستخدم في المثلثات غير قائمة الزاوية:
​1. قاعدة الجيب (قاعدة الجا):
تناسب أطوال الأضلاع مع جيوب الزوايا المقابلة لها.
​(أ شرطة / جا أ) = (ب شرطة / جا ب) = (جـ شرطة / جا جـ) = 2 نق.
​حيث (نق) هو نصف قطر الدائرة المارة برؤوس المثلث.
​2. قاعدة جيب التمام (قاعدة الجتا):
تستخدم إذا علمنا ضلعين وزاوية محصورة، أو ثلاثة أضلاع.
​أ شرطة تربيع = ب شرطة تربيع + جـ شرطة تربيع - (2 ب شرطة جـ شرطة جتا أ).
​المحور السادس: زوايا الارتفاع والانخفاض
​هي تطبيقات حياتية على المثلث القائم:
​زاوية الارتفاع: هي الزاوية بين خط النظر للأعلى والخط الأفقي.
​زاوية الانخفاض: هي الزاوية بين خط النظر للأسفل والخط الأفقي.
​قاعدة هامة: زاوية الارتفاع من نقطة (أ) لرصد (ب) تساوي زاوية الانخفاض من (ب) لرصد (أ) بالتبادل.