الدرس السابع: التفاضل (النهايات، الاتصال، وقواعد الاشتقاق)

​الدرس السابع: التفاضل (النهايات، الاتصال، وقواعد الاشتقاق)
​التفاضل هو علم دراسة "معدل التغير". في هذا الدرس، سنبدأ من مفهوم النهاية وصولاً إلى إتقان قواعد الاشتقاق التي تمثل حجر الزاوية في الرياضيات الحديثة.
​المحور الأول: النهايات (Limits)
​النهاية هي القيمة التي "تقترب" منها الدالة عندما يقترب المتغير (س) من قيمة معينة.
​1. طرق إيجاد النهاية:
​التعويض المباشر: هي الخطوة الأولى دائماً. إذا نتج رقم حقيقي، فهذه هي النهاية.
​كمية غير معينة (0 / 0): إذا نتج صفر على صفر، يجب استخدام طرق أخرى للتخلص من العامل الصِفري:
​التحليل: (نرجع لمهارات الدرس الأول) مثل تحليل الفرق بين مربعين أو المقدار الثلاثي لحذف القوس المسبب للصفر.
​الضرب في المرافق: نستخدمه عادة عند وجود جذور تربيعية.
​القانون (النتيجة): نهاية [ (س^ن - أ^ن) / (س - أ) ] عندما س تؤول إلى أ = ن × أ^(ن-1).
​2. النهاية عند المالانهاية:
ننظر إلى أعلى أُس لـ (س) في البسط والمقام:
​إذا كان أُس البسط = أُس المقام: النهاية = (معامل أعلى أس في البسط) / (معامل أعلى أس في المقام).
​إذا كان أُس البسط أصغر من أُس المقام: النهاية = صفر.
​إذا كان أُس البسط أكبر من أُس المقام: النهاية = مالانهاية.
​المحور الثاني: اتصال الدالة (Continuity)
​تكون الدالة متصلة عند نقطة (أ) إذا لم يكن بها "ثقب" أو "قفزة" عند هذه النقطة. ولكي يتحقق الاتصال، يجب توافر 3 شروط معاً:
​أن تكون الدالة معرفة عند (أ).
​أن تكون نهاية الدالة موجودة عندما س تؤول إلى (أ).
​أن تكون قيمة الدالة = قيمة النهاية.
​المحور الثالث: قواعد الاشتقاق (Rules of Differentiation)
​المشتقة الأولى للدالة (ص') تعبر عن "ميل المماس" للمنحنى عند أي نقطة.
​1. القواعد الأساسية:
​مشتقة الثابت: تساوي دائماً صفر. (مثلاً مشتقة الرقم 5 هي 0).
​قاعدة القوة: نضرب في الأس ونطرح منه 1. [ مشتقة س^ن هي ن س^(ن-1) ].
​مثال: مشتقة س^3 هي 3س^2.
​مشتقة المجموع والفرق: نشتق كل حد بمفرده.
​2. القواعد المتقدمة:
​مشتقة حاصل ضرب دالتين: (الأولى × مشتقة الثانية) + (الثانية × مشتقة الأولى).
​مشتقة خارج قسمة دالتين: [ (المقام × مشتقة البسط) - (البسط × مشتقة المقام) ] / (المقام)^2.
​قاعدة السلسلة (مشتقة القوس): نشتق القوس كأنه كتلة واحدة (نزل الأس واطرح 1) ثم نضرب في "مشتقة ما داخل القوس".
​المحور الرابع: مشتقات الدوال المثلثية
​هذه القواعد يجب حفظها كما هي:
​مشتقة (جا س) = جتا س.
​مشتقة (جتا س) = - جا س (لاحظ الإشارة السالبة).
​مشتقة (ظا س) = قا^2 س.