الدرس الثامن: تطبيقات التفاضل ومبادئ التكامل

​الدرس الثامن: تطبيقات التفاضل ومبادئ التكامل
​في هذا الدرس، سنستخدم "المشتقة الأولى" التي تعلمناها في الدرس السابق لنعرف سلوك المنحنيات، ثم سنبدأ رحلتنا مع "التكامل" الذي يعتبر العملية العكسية للتفاضل.
​المحور الأول: تطبيقات التفاضل (سلوك الدالة)
​المشتقة الأولى (ص') ليست مجرد رقم، بل هي "بوصلة" تخبرنا أين تصعد الدالة وأين تهبط.
​1. التزايد والتناقص:
​تكون الدالة تزايدية في فترة ما إذا كانت مشتقتها الأولى موجبة (+) في تلك الفترة.
​تكون الدالة تناقصية في فترة ما إذا كانت مشتقتها الأولى سالبة (-) في تلك الفترة.
​2. النقاط الحرجة (Critical Points):
هي النقاط التي يكون عندها ميل المماس يساوي صفراً (المماس أفقي)، أو تكون عندها المشتقة غير معرفة.
​لإيجادها: نشتق الدالة، ونساوي المشتقة بالصفر (ص' = 0)، ثم نحل المعادلة لإيجاد قيمة س.
​3. القيم العظمى والصغرى المحلية:
بعد إيجاد النقاط الحرجة، نختبر ما حولها:
​عظمى محلية: إذا كانت الدالة قبلها تزايدية (+) وبعدها تناقصية (-). (مثل قمة الجبل).
​صغرى محلية: إذا كانت الدالة قبلها تناقصية (-) وبعدها تزايدية (+). (مثل قاع الوادي).
​4. القيم العظمى والصغرى المطلقة:
هي أعلى وأقل قيمة تصل إليها الدالة في "فترة محددة". لإيجادها، نحسب قيمة الدالة عند:
​بداية الفترة ونهايتها.
​النقاط الحرجة التي تقع داخل هذه الفترة.
​أكبر ناتج هو القيمة العظمى المطلقة، وأصغر ناتج هو القيمة الصغرى المطلقة.
​المحور الثاني: التكامل غير المحدد (Indefinite Integration)
​التكامل هو عملية "بناء" الدالة الأصلية إذا علمنا مشتقتها. يرمز له بالعلامة (∫).
​1. القاعدة الأساسية للتكامل:
عكس قاعدة الاشتقاق تماماً: نزيد الأس 1، ونقسم على الأس الجديد.
​قانون: تكامل (س^ن) بالنسبة لـ س = [ س^(ن+1) / (ن+1) ] + ث.
​حيث (ث) هو ثابت التكامل، ونضعه دائماً لأننا لا نعرف الثابت الذي ضاع أثناء التفاضل (لأن مشتقة الثابت صفر).
​2. قواعد هامة:
​تكامل العدد الثابت (أ): نضربه في س. (مثلاً: ∫ 5 دس = 5س + ث).
​تكامل المجموع والفرق: نوزع التكامل على الحدود.
​3. تكامل الدوال المثلثية الأساسية:
​تكامل (جتا س) = جا س + ث.
​تكامل (جا س) = - جتا س + ث. (لاحظ أن الجا هي التي تأخذ الإشارة السالبة في التكامل).
​تكامل (قا^2 س) = ظا س + ث.
​المحور الثالث: التكامل المحدد (Definite Integration)
​هو تكامل له "بداية" (أ) و "نهاية" (ب)، ونتيجته تكون دائماً رقماً حقيقياً (ولا نضع فيه ثابت التكامل ث).
​1. طريقة الحل:
​نقوم بإجراء عملية التكامل العادية للدالة لتصبح (ت).
​نعوض بحدود التكامل: (قيمة الدالة عند النهاية ب) ناقص (قيمة الدالة عند البداية أ).
​القانون: [ ت(ب) - ت(أ) ].
​2. التطبيق الأهم (المساحة تحت المنحنى):
​المساحة المحصورة بين منحنى الدالة ومحور السينات في الفترة من (أ) إلى (ب) تساوي قيمة التكامل المحدد للدالة في هذه الفترة.
​ملاحظة: إذا كانت المساحة تقع تحت محور السينات، ستخرج قيمة التكامل سالبة، وفي هذه الحالة نأخذ "القيمة المطلقة" لأن المساحة لا يمكن أن تكون سالبة.