المحاضرة الثامنة: الأعداد الحقيقية والفترات (الصف الثاني الإعدادي)

## المحاضرة الثامنة: الأعداد الحقيقية والفترات (الصف الثاني الإعدادي)

### 1. الأعداد غير النسبية (Q') والأعداد الحقيقية (R)
* العدد غير النسبي (Q'): هو العدد الذي لا يمكن كتابته على صورة كسر (أ/ب). ويشمل:
1. الجذور التربيعية لأعداد ليست مربعات كاملة (مثل: $\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}$).
2. الجذور التكعيبية لأعداد ليست مكعبات كاملة (مثل: $\sqrt[3]{2}, \sqrt[3]{9}$).
3. النسبة التقريبية ($\pi$ أو ط)، فهي عدد غير نسبي، بينما الكسر $22/7$ هو عدد نسبي تقريبي لها.
* الأعداد الحقيقية (R): هي اتحاد مجموعة الأعداد النسبية وغير النسبية ($R = Q \cup Q'$).
- ملاحظة هامة: $Q \cap Q' = \emptyset$ (لا يوجد عدد نسبي وغير نسبي في نفس الوقت).

### 2. الفترات (Intervals) وخدع الامتحانات
الفترة هي مجموعة جزئية من الأعداد الحقيقية (تضم عدداً لا نهائياً من الأعداد).
* تقاطع واتحاد الفترات: نستخدم خط الأعداد للتبسيط.
* خدعة (الفرق) بين فترة ومجموعة:
- فترة مغلقة تُطرح منها مجموعة أطرافها $\implies$ تتحول إلى فترة مفتوحة.
مثال: $[2, 5] - \{2, 5\} = (2, 5)$.
- فترة مفتوحة تُتحد مع مجموعة أطرافها $\implies$ تتحول إلى فترة مغلقة.
مثال: $(2, 5) \cup \{2\} = [2, 5)$.
- المطب الامتحاني: $[2, 5] - \{3\} = [2, 3) \cup (3, 5]$ (الرقم 3 يفتح الفترة من المنتصف).

### 3. العددان المترافقان (Conjugate Numbers)
إذا كان لدينا العدد $a + \sqrt{b}$، فإن مرافقه هو $a - \sqrt{b}$.
* خواص سريعة الحساب:
1. مجموعهما = $2a$ (ضعف الحد الأول).
2. حاصل ضربهما = $a^2 - b$ (مربع الأول ناقص مربع الثاني). دائماً يعطي عدداً نسبياً!
* إنطاق المقام: إذا كان المقام يحتوي على جذر (مثل $\frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}}$)، نضرب البسط والمقام في مرافق المقام للتخلص من الجذر.

### 4. حل المعادلات في (R)
* عند حل معادلة مثل $x^2 = 5$ في مجموعة الأعداد النسبية (Q)، فإن مجموعة الحل = $\emptyset$.
* لكن في مجموعة الأعداد الحقيقية (R)، مجموعة الحل = $\{\sqrt{5}, -\sqrt{5}\}$.