المحاضرة العاشرة: القوى الصحيحة وحل المعادلات الأسية (الصف الثاني الإعدادي)

## المحاضرة العاشرة: القوى الصحيحة وحل المعادلات الأسية (الصف الثاني الإعدادي)

### 1. قوانين الأسس (القواعد الذهبية)
* عند الضرب (للأساسات المتشابهة): نجمع الأسس. $a^m \times a^n = a^{m+n}$
* عند القسمة (للأساسات المتشابهة): نطرح الأسس. $a^m / a^n = a^{m-n}$
* قوة القوة (أس فوق أس): نضرب الأسس. $(a^m)^n = a^{m \times n}$
* توزيع الأسس: الأس يُوزع على الضرب والقسمة فقط، ولا يُوزع أبداً على الجمع والطرح.
- $(ab)^n = a^n b^n$
- $(a+b)^n \neq a^n + b^n$ (مطب امتحاني شهير).

### 2. الأسس السالبة والصفرية
* أي عدد (غير الصفر) أسه صفر يساوي $1$. $\implies a^0 = 1$.
* الأس السالب يعني (مقلوب العدد): $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
* السر الامتحاني للكسور: لكي نتخلص من الأس السالب المرفوع لكسر، (نقلب الكسر) ونعكس إشارة الأس.
- $\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^n$.

### 3. حل المعادلات الأسية (3 حالات سحرية)
المعادلة الأسية هي معادلة يكون فيها المجهول ($x$) في الأس.
* الحالة الأولى: إذا كان الأساس = الأساس، فإن الأس = الأس.
- مثال: $2^{x-1} = 8 \implies 2^{x-1} = 2^3 \implies x-1 = 3 \implies x = 4$.
* الحالة الثانية: إذا كان الأس = الأس، فلدينا خياران:
- إما أن الأساس = الأساس (إذا كان الأس فردياً).
- أو الأساس = $\pm$ الأساس (إذا كان الأس زوجياً).
- أو أن الأس نفسه يساوي (صفراً) إذا كانت الأساسات مختلفة ولا يمكن تساويها (مثال: $5^x = 7^x \implies x=0$).
* الحالة الثالثة: إذا كان $a^x = 1$.
- بما أن $1$ هو في الحقيقة $a^0$، إذن الأس $x$ يجب أن يساوي (صفراً).

### 4. فوازير الامتحانات (خدع السرعة)
* "نصف العدد $2^{20}$": لا تقسم الأس على 2! بل اطرح من الأس 1. (لأن $\frac{2^{20}}{2^1} = 2^{19}$).
* "ثلث العدد $3^{15}$": هو $3^{14}$.
* "ضعف العدد $2^{10}$": هو $2^{11}$ (لأننا نضرب في $2^1$ ونجمع الأسس).
* خدعة التفكيك: إذا كان $3^x = 5$، فإن $3^{x+1} = 3^x \times 3^1 = 5 \times 3 = 15$.