## المحاضرة الحادية عشرة: متوسطات المثلث والمثلث متساوي الساقين (الصف الثاني الإعدادي)
### 1. متوسطات المثلث (نقطة التقاطع والنسب)
* تعريف المتوسط: هو قطعة مستقيمة مرسومة من رأس المثلث إلى منتصف الضلع المقابل.
- لأي مثلث (مهما كان نوعه) $3$ متوسطات، تتقاطع جميعها في نقطة واحدة داخل المثلث.
* نظرية نقطة التقاطع (أهم قاعدة): نقطة تقاطع المتوسطات تقسم كل متوسط بنسبة $1 : 2$ من جهة القاعدة، وبنسبة $2 : 1$ من جهة الرأس.
- السر الامتحاني (الكسور): الجزء الصغير (من جهة القاعدة) = $\frac{1}{3}$ المتوسط كاملاً.
- الجزء الكبير (من جهة الرأس) = $\frac{2}{3}$ المتوسط كاملاً.
### 2. المثلث القائم الزاوية والمثلث (الثلاثيني الستيني)
* نظرية المتوسط الخارج من القائمة: طول المتوسط المرسوم من رأس القائمة يساوي (نصف) طول الوتر.
- والعكس صحيح: إذا كان طول متوسط يساوي نصف الضلع المقابل للرأس الذي خرج منه، فإن زاوية هذا الرأس تكون (قائمة).
* نتيجة هامة (المثلث الثلاثيني الستيني): في المثلث القائم، طول الضلع المقابل للزاوية $30^\circ$ يساوي (نصف) طول الوتر.
- خدعة امتحانية: في المثلث القائم الذي زواياه $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$، طول المتوسط الخارج من القائمة = طول الضلع المقابل للزاوية $30^\circ$.
### 3. المثلث متساوي الساقين (زوايا القاعدة ومحاور التماثل)
* نظرية زوايا القاعدة: زاويتا القاعدة في المثلث متساوي الساقين (متطابقتان / متساويتان في القياس).
- ملحوظة: زاوية الرأس يمكن أن تكون حادة أو قائمة أو منفرجة، لكن زوايا القاعدة يجب أن تكون دائماً (حادة).
- إذا ساوى قياس إحدى زوايا المثلث متساوي الساقين $60^\circ$، تحول فوراً إلى مثلث متساوي الأضلاع.
* عكس النظرية: إذا تطابقت زاويتان في مثلث، فإن الضلعين المقابلين لهاتين الزاويتين يكونان متطابقين (والمثلث متساوي الساقين).
* محاور التماثل:
- المثلث مختلف الأضلاع: $0$ محور.
- المثلث متساوي الساقين: $1$ محور (فقط).
- المثلث متساوي الأضلاع: $3$ محاور.
### 4. نتائج المثلث متساوي الساقين (قاعدة الـ 3 في 1)
في المثلث متساوي الساقين، المستقيم المار بالرأس يمتلك 3 صفات متلازمة (إذا تحققت واحدة، تحققت الباقيتان تلقائياً):
1. ينصف زاوية الرأس.
2. ينصف القاعدة (يكون متوسطاً).
3. عمودي على القاعدة (يكون ارتفاعاً ومحور تماثل).