المحاضرة الرابعة عشرة: حاصل الضرب الديكارتي والدوال (الصف الثالث الإعدادي)

## المحاضرة الرابعة عشرة: حاصل الضرب الديكارتي والدوال (الصف الثالث الإعدادي)

### 1. الزوج المرتب وحاصل الضرب الديكارتي
* تساوي زوجين مرتبين: إذا كان $(a, b) = (x, y)$، فإن المسقط الأول يساوي الأول ($a=x$)، والثاني يساوي الثاني ($b=y$).
- المطب الامتحاني: غالباً ما تأتي في شكل معادلات تحتوي على جذور أو أسس، مثل $(x^2, \sqrt{y}) = (9, 4)$.
* حاصل الضرب الديكارتي لمجموعتين $X \times Y$: هو مجموعة جميع الأزواج المرتبة التي مسقطها الأول من $X$ والثاني من $Y$.
- القاعدة الذهبية لعدد العناصر: $n(X \times Y) = n(X) \times n(Y)$.
- انتبه: $n(X^2) = n(X) \times n(X)$، بينما $X^2$ هي مجموعة الأزواج المرتبة.

### 2. الشبكة التربيعية (تحديد الأرباع)
أي نقطة $(x, y)$ تقع في:
* الربع الأول: $(+, +)$
* الربع الثاني: $(-, +)$ (السين سالبة، والصاد موجبة).
* الربع الثالث: $(-, -)$
* الربع الرابع: $(+, -)$ (السين موجبة، والصاد سالبة).
* أسرار المحاور:
- النقطة تقع على محور السينات $\implies$ الصاد تساوي صفر ($y=0$).
- النقطة تقع على محور الصادات $\implies$ السين تساوي صفر ($x=0$).

### 3. العلاقات والدوال (Functions)
* متى تكون العلاقة "دالة"؟ إذا ظهر كل عنصر من عناصر المجموعة الأولى (المجال) كمسقط أول في الأزواج المرتبة **(مرة واحدة فقط)**.
* المدى (Range): هو مجموعة الصور (المساقط الثانية) التي تم اختيارها من المجال المقابل. المدى دائماً مجموعة جزئية من المجال المقابل.

### 4. دوال كثيرات الحدود (أهم 3 دوال)
1. الدالة الثابتة: $f(x) = c$. (درجتها صفر). تمثل بمستقيم يوازي محور السينات.
- فخ شهير: إذا كانت $f(x) = 5$，فإن $f(3) + f(-3) = 5 + 5 = 10$. (الرقم لا يتغير أبداً).
2. الدالة الخطية: $f(x) = ax + b$. (من الدرجة الأولى).
- نقطة تقاطعها مع محور الصادات: $(0, b)$.
- نقطة تقاطعها مع محور السينات: $(-b/a, 0)$.
3. الدالة التربيعية: $f(x) = ax^2 + bx + c$. (من الدرجة الثانية). تمثل بمنحنى (U أو مقلوبها).
- إحداثي نقطة رأس المنحنى جبرياً: $(-b/2a, f(-b/2a))$.
- معادلة محور التماثل: $x = -b/2a$.
- القيمة العظمى/الصغرى: هي الإحداثي الصادي لنقطة رأس المنحنى.