المحاضرة الخامسة عشرة: النسبة والتناسب والتغير (الصف الثالث الإعدادي)

## المحاضرة الخامسة عشرة: النسبة والتناسب والتغير (الصف الثالث الإعدادي)

### 1. النسبة والتناسب العادي
* التناسب: هو تساوي نسبتين أو أكثر. إذا كان $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$، فإن الأعداد $a, b, c, d$ في تناسب.
* خواص التناسب:
1. حاصل ضرب الطرفين = حاصل ضرب الوسطين ($ad = bc$).
2. التبديل: $\frac{a}{c} = \frac{b}{d}$.
3. الفرض السحري (مفتاح حل المسائل المقالية): إذا كان $\frac{a}{b} = \frac{c}{d} = m$ (حيث $m \neq 0$)، فإن $a = bm$ و $c = dm$.

### 2. التناسب المتسلسل (الوسط المتناسب)
* متى نستخدمه؟ إذا قال إن الأعداد $a, b, c$ في تناسب متسلسل، أو إذا طلب "الوسط المتناسب".
* القاعدة: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} \implies b^2 = ac$.
* الوسط المتناسب ($b$): $b = \pm \sqrt{a \times c}$. (المطب الامتحاني: لا تنسَ وضع $\pm$ عند إيجاد الوسط المتناسب عددياً).
* الفرض السحري للمتسلسل: $\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = m \implies b = cm$ و $a = cm^2$. (لاحظ تدرج الأسس).

### 3. الخاصية الخامسة (مجموع المقدمات والتوالي)
* $\frac{\text{مجموع المقدمات}}{\text{مجموع التوالي}} = \text{إحدى النسب}$.
* تُستخدم بكثرة في مسائل الإثباتات أو عندما يعطيك نسباً معقدة ويطلب إيجاد قيمة لمتغير.

### 4. التغير الطردي ($y \propto x$)
* معناه: كلما زادت $x$، زادت $y$ بنفس النسبة.
* القوانين:
1. معادلة التغير: $y = mx$ (حيث $m$ ثابت التغير، $m = \frac{y}{x}$).
2. التناسب للقيمتين: $\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_1}{x_2}$.
* التمثيل البياني: مستقيم يمر بـ (نقطة الأصل). إذا لم يمر بنقطة الأصل، فهو يمثل علاقة خطية عادية وليست تغيراً طردياً.

### 5. التغير العكسي ($y \propto \frac{1}{x}$)
* معناه: كلما زادت $x$، قلت $y$ بنسبة عكسية.
* القوانين:
1. معادلة التغير: $y = \frac{m}{x}$ (أو $x \times y = m$). (حاصل ضرب المتغيرين يساوي مقداراً ثابتاً).
2. التناسب للقيمتين: $\frac{y_1}{y_2} = \frac{x_2}{x_1}$ (لاحظ عكس الأرقام في $x$).
* التمثيل البياني: منحنى لا يقطع أياً من محوري السينات أو الصادات.