المحاضرة السادسة عشرة: حل المعادلات والقانون العام (الصف الثالث الإعدادي)

## المحاضرة السادسة عشرة: حل المعادلات والقانون العام (الصف الثالث الإعدادي)

### 1. حل معادلتين من الدرجة الأولى في متغيرين (جبرياً وبيانياً)
* الصورة العامة: $a_1 x + b_1 y = c_1$ و $a_2 x + b_2 y = c_2$.
* الحل الجبري (طريقة الحذف): نجعل معامل أحد المتغيرين في المعادلة الأولى معكوساً جمعياً لنظيره في المعادلة الثانية، ثم نجمع المعادلتين ليختفي هذا المتغير ونوجد الآخر.
* الحل البياني (خدعة عدد الحلول بمجرد النظر):
نحسب ميل المستقيمين $m_1 = -a_1/b_1$ و $m_2 = -a_2/b_2$.
1. إذا كان $m_1 \neq m_2$: المستقيمان (متقاطعان) ويوجد (حل وحيد).
2. إذا كان $m_1 = m_2$ والمقطعان الصاديان مختلفين: المستقيمان (متوازيان) وعدد الحلول (صفر). مجموعة الحل $\emptyset$.
3. إذا كان $m_1 = m_2$ والمقطعان الصاديان متساويين: المستقيمان (منطبقان) ويوجد (عدد لا نهائي) من الحلول.

### 2. حل معادلة من الدرجة الأولى مع معادلة من الدرجة الثانية
* الطريقة الوحيدة هي (التعويض):
1. نأخذ معادلة الدرجة الأولى ونجعل $x$ أو $y$ في طرف بمفردها. (مثال: $x = y + 2$).
2. نعوض بهذه القيمة في معادلة الدرجة الثانية (ونفك الأقواس بعناية).
3. نحل مقدار الدرجة الثانية (بالتحليل المعتاد) لنحصل على قيمتين.
4. نعوض في معادلة الدرجة الأولى لإيجاد قيم المتغير الآخر. وينتج لنا أزواج مرتبة $(x, y)$.

### 3. القانون العام لحل المعادلة التربيعية ($ax^2 + bx + c = 0$)
* يُستخدم عندما يصعب تحليل المقدار الثلاثي بالطرق العادية.
* القانون العام: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$.
* (المميز): هو المقدار الموجود تحت الجذر $(b^2 - 4ac)$، وهو الذي يحدد نوع وعدد حلول المعادلة:
1. إذا كان المميز (موجباً) $> 0$: يوجد (حلان حقيقيان مختلفان).
2. إذا كان المميز (صفراً) $= 0$: يوجد (حل وحيد مكرر).
3. إذا كان المميز (سالباً) $< 0$: لا يوجد أي حل حقيقي، وعدد الحلول (صفر)، ومجموعة الحل $\emptyset$.