المحاضرة الثامنة عشرة: الإحصاء والاحتمالات (الصف الثالث الإعدادي)

## المحاضرة الثامنة عشرة: الإحصاء والاحتمالات (الصف الثالث الإعدادي)

### 1. الإحصاء: مقاييس التشتت
التشتت هو تباعد أو تقارب البيانات عن بعضها.
* المدى (Range): هو (أبسط وأسهل) مقاييس التشتت. ويُحسب بالقانون: (أكبر قيمة - أصغر قيمة).
- عيبه: يتأثر جداً بالقيم المتطرفة لأنه يعتمد على قيمتين فقط.
* الانحراف المعياري ($\sigma$): هو (أدق وأهم) مقاييس التشتت. وهو الجذر التربيعي الموجب لمتوسط مربعات انحرافات القيم عن وسطها الحسابي.
- قانونه للقيم: $\sigma = \sqrt{\frac{\sum(x - \bar{x})^2}{n}}$
- السر الامتحاني: إذا كانت جميع القيم (متساوية) (مثل: 5, 5, 5, 5)، فإن التشتت ينعدم ويكون الانحراف المعياري = (صفراً).

### 2. الاحتمالات: المفاهيم الأساسية
* الحدث المستحيل: رمزه ($\emptyset$)، واحتماله يساوي ($0$).
* الحدث المؤكد: رمزه فضاء العينة ($S$)، واحتماله يساوي ($1$).
* قيمة أي احتمال $P(A)$ تنتمي دائماً للفترة المغلقة $[0, 1]$. لا يوجد احتمال سالب ولا احتمال أكبر من 1.

### 3. العمليات على الأحداث (القوانين الذهبية)
نرمز للاحتمال بالرمز $P$ وللأحداث بـ $A, B$:
1. التقاطع ($A \cap B$): وقوع الحدثين (معاً).
2. الاتحاد ($A \cup B$): وقوع أحدهما (على الأقل).
- قانون الاتحاد: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
3. الحدث المكمل ($A'$): (عدم) وقوع الحدث $A$.
- قانونه: $P(A') = 1 - P(A)$. (ومجموع $P(A) + P(A') = 1$).
4. الفرق ($A - B$): وقوع الحدث $A$ (فقط) وعدم وقوع $B$.
- قانونه: $P(A - B) = P(A) - P(A \cap B)$.

### 4. الحالات الخاصة (فخاخ الامتحانات)
* الأحداث المتنافية: حدثان لا يمكن وقوعهما معاً (مثل النجاح والرسوب).
- تقاطعهما (كمجموعة) = $\emptyset$.
- احتمال تقاطعهما (كقيمة) = $0$. (وبالتالي يختفي التقاطع من قوانين الاتحاد والفرق).
* إذا كان حدث جزئية من حدث ($A \subset B$): (الـ A صغيرة بداخل الـ B الكبيرة).
- التقاطع يعطي الصغير: $P(A \cap B) = P(A)$.
- الاتحاد يعطي الكبير: $P(A \cup B) = P(B)$.