المحاضرة العشرون: الهندسة التحليلية (البعد والمنتصف) - الصف الثالث الإعدادي

## المحاضرة العشرون: الهندسة التحليلية (البعد والمنتصف) - الصف الثالث الإعدادي

### 1. قانون البعد بين نقطتين (طول القطعة المستقيمة)
* إذا كان لدينا نقطتان $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$، فإن البعد بينهما:
$D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ (الجذر التربيعي لمربع فرق السينات + مربع فرق الصادات).
* أسرار البعد عن المحاور (خدع الامتحانات):
1. بعد النقطة $(x, y)$ عن نقطة الأصل $(0, 0)$ = $\sqrt{x^2 + y^2}$.
2. بعد النقطة $(x, y)$ عن محور السينات = القيمة المطلقة للصادات $|y|$.
3. بعد النقطة $(x, y)$ عن محور الصادات = القيمة المطلقة للسينات $|x|$.
(البعد دائماً كمية موجبة، فلا يوجد طول بالسالب).

### 2. إحداثيات منتصف قطعة مستقيمة
* إذا كانت النقطة $M$ في منتصف المسافة بين $(x_1, y_1)$ و $(x_2, y_2)$، فإن إحداثياتها:
$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$ (مجموع السينات على 2 ، مجموع الصادات على 2).
* السر العكسي (إيجاد نقطة طرفية بمعلومية المنتصف والطرف الآخر):
- النقطة المجهولة = $(2 \times \text{المنتصف}) - \text{النقطة المعلومة}$.
- مثال: إذا كان المنتصف $(2, 3)$ وطرف $(1, 5)$، الطرف الآخر = $(4, 6) - (1, 5) = (3, 1)$.

### 3. التطبيقات الهندسية (متى نستخدم ماذا؟)
* لإثبات أن $3$ نقاط تقع على استقامة واحدة:
- نستخدم (البعد): نوجد أطوال القطع الثلاث، ويجب أن يكون أطول بُعد = مجموع البعدين الآخرين.
* لإثبات نوع المثلث بالنسبة لأضلاعه (متساوي الساقين، متساوي الأضلاع، مختلف):
- نستخدم (البعد) لإيجاد الأطوال الثلاثة ومقارنتها.
* لإثبات نوع المثلث بالنسبة لزواياه:
- نستخدم (البعد)، ثم نُربع الأضلاع الثلاثة، ونقارن مربع الضلع الأكبر بمجموع مربعي الضلعين الآخرين (كما تعلمنا في عكس فيثاغورس).
* لإثبات الأشكال الرباعية (متوازي أضلاع، مستطيل، معين، مربع):
- يُفضل استخدام (المنتصف) لإثبات أن القطرين ينصف كل منهما الآخر (نفس نقطة المنتصف)، فهذا يثبت أنه متوازي أضلاع. ثم نضيف خاصية أخرى باستخدام (البعد) حسب الشكل المطلوب.
* لإثبات أن النقاط تقع على دائرة واحدة مركزها $M$:
- نستخدم (البعد) لإثبات أن المسافات من المركز للنقاط متساوية (نصف القطر $r$).